Les chiffres grecs et les mathématiques dans la Grèce antique

Les Grecs anciens n’écrivaient pas les nombres avec les chiffres 1, 2, 3 que nous utilisons aujourd’hui. Ceux-ci sont arrivés bien plus tard. À la place, les Grecs utilisaient des lettres comme nombres. Ils avaient deux systèmes : un ancien et un plus récent.

L’ancien système était utilisé à Athènes, par exemple sur les inscriptions en pierre et dans les listes d’argent. La plupart des signes étaient la première lettre d’un mot désignant un nombre :

• Ι = 1, un simple trait
• Γ (plus tard écrit Π) = 5, de πέντε
• Δ = 10, de δέκα
• Η = 100, de ἑκατόν, car dans l’ancienne écriture athénienne Η notait le son h
• Χ = 1000, de χίλιοι
• Μ = 10 000, de μύριοι

Pour écrire un nombre, on additionnait simplement les signes, un peu comme les chiffres romains : ΔΔΙΙΙ fait 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23. Il existait aussi des signes combinés pour 50, 500 et 5000. Les spécialistes parlent de système acrophonique, de ἄκρον, « pointe », et φωνή, « son » : chaque signe est le premier son de son mot.

Le système plus récent donnait une valeur aux lettres de l’alphabet, dans l’ordre :

• α = 1, β = 2, γ = 3 … jusqu’à 9
• ι = 10, κ = 20, λ = 30 … jusqu’à 90
• ρ = 100, σ = 200, τ = 300 … jusqu’à 900

Cela fait 27 signes, mais l’alphabet n’avait que 24 lettres. On a donc gardé trois lettres anciennes : ϛ pour 6, ϟ (koppa) pour 90 et ϡ (sampi) pour 900. Un petit trait montrait que les lettres formaient un nombre : ρνζʹ vaut 100 + 50 + 7 = 157. Pour les milliers, un trait se plaçait devant, en bas : ͵α vaut 1000. La myriade, 10 000, s’écrivait avec Μ.

Quand ce système a-t-il commencé ? Les historiens ne sont pas d’accord. La grammaire de Smyth, de 1920, dit qu’il est entré en usage après le IIe siècle av. J.-C., mais des découvertes d’inscriptions ont reculé cette date, et certains chercheurs pensent qu’il est né à Milet, en Ionie, bien plus tôt. Athènes a gardé longtemps ses anciens signes sur les inscriptions. Le système des lettres était court et pratique, si bien que les mathématiciens l’utilisaient pour les grands calculs.

Le mot γεωμετρία signifie « mesure de la terre », de γῆ, la terre, et μετρῶ, « je mesure ». Hérodote (2.109) pensait que les Grecs avaient appris l’arpentage en Égypte, où des fonctionnaires mesuraient de nouveau les champs quand la crue du Nil avait emporté de la terre. Les Grecs ont ajouté quelque chose de nouveau : ils voulaient démontrer pourquoi une règle est toujours vraie.

On attribue à Thalès de Milet (vers 624–547 av. J.-C.) cinq théorèmes simples de géométrie, même si les auteurs anciens prêtaient souvent aux hommes célèbres des découvertes qu’ils n’avaient pas faites. Pythagore de Samos (vers 570–490 av. J.-C.) a donné son nom au théorème sur les triangles rectangles. Les Babyloniens connaissaient la règle environ 1000 ans plus tôt, mais Pythagore a peut-être été le premier à la démontrer.

Euclide enseignait à Alexandrie vers 300 av. J.-C. Ses Éléments, les Στοιχεῖα, comptent 13 livres. Ils commencent par des définitions et cinq postulats, puis construisent pas à pas une longue chaîne de θεωρήματα, chacun avec son ἀπόδειξις, sa démonstration. Cet ouvrage a marqué les mathématiques pendant plus de 2000 ans. Archimède de Syracuse (287–212 av. J.-C.) est allé plus loin avec les figures courbes. Dans L’Arénaire, il a même trouvé un moyen de nommer des nombres assez grands pour compter les grains de sable qui rempliraient l’univers.

Aujourd’hui, un élève grec étudie les μαθηματικά, un mot ancien lié à μάθημα, « ce qu’on apprend ». En classe, les élèves rencontrent beaucoup de mots qu’Euclide et Archimède employaient déjà : αριθμός (nombre), τρίγωνο (triangle), κύκλος (cercle), θεώρημα et απόδειξη. Ils apprennent le Πυθαγόρειο θεώρημα, le théorème de Pythagore.

Certains mots ont un peu changé. Un chiffre se dit ψηφίο, de ψηφίον, « petit caillou » ; c’est seulement plus tard que le mot a pris le sens de nombre. Et απόδειξη a un second sens, de tous les jours : le ticket de caisse qu’on reçoit dans un magasin, un papier qui prouve qu’on a payé.

Les nombres-lettres n’ont pas disparu non plus. Les Grecs s’en servent encore pour l’ordre et le rang : les années d’école, les rois de l’histoire et les chapitres d’un livre sont numérotés Α΄, Β΄, Γ΄.