Αρχαίοι ελληνικοί αριθμοί και μαθηματικά

Οι αρχαίοι Έλληνες δεν έγραφαν τους αριθμούς με τα ψηφία 1, 2, 3 που χρησιμοποιούμε σήμερα. Αυτά ήρθαν πολύ αργότερα. Αντί γι’ αυτά, οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα ως αριθμούς. Είχαν δύο συστήματα: ένα παλαιότερο και ένα νεότερο.

Το παλαιότερο σύστημα χρησιμοποιούνταν στην Αθήνα, για παράδειγμα σε πέτρινες επιγραφές και σε καταλόγους με χρήματα. Τα περισσότερα σημάδια ήταν το πρώτο γράμμα μιας λέξης για αριθμό:

• Ι = 1, μια απλή γραμμή
• Γ (αργότερα γράφτηκε Π) = 5, από το πέντε
• Δ = 10, από το δέκα
• Η = 100, από το ἑκατόν, γιατί στην παλιά αθηναϊκή γραφή το Η έδειχνε τη δασεία, έναν ήχο σαν το αγγλικό h
• Χ = 1000, από το χίλιοι
• Μ = 10.000, από το μύριοι

Για να γράψεις έναν αριθμό, απλώς πρόσθετες τα σημάδια, λίγο όπως στους λατινικούς αριθμούς: ΔΔΙΙΙ σημαίνει 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23. Υπήρχαν και ενωμένα σημάδια για το 50, το 500 και το 5000. Οι ειδικοί το λένε ακροφωνικό σύστημα, από το ἄκρον, «άκρη», και το φωνή, «ήχος»: κάθε σημάδι είναι ο πρώτος ήχος της λέξης του.

Το νεότερο σύστημα έδινε μια τιμή στα γράμματα του αλφαβήτου, με τη σειρά:

• α = 1, β = 2, γ = 3 … ως το 9
• ι = 10, κ = 20, λ = 30 … ως το 90
• ρ = 100, σ = 200, τ = 300 … ως το 900

Αυτά κάνουν 27 σημάδια, αλλά το αλφάβητο είχε μόνο 24 γράμματα. Έτσι κράτησαν τρία παλιά γράμματα: το ϛ για το 6, το ϟ (κόππα) για το 90 και το ϡ (σαμπί) για το 900. Μια μικρή γραμμή έδειχνε ότι τα γράμματα ήταν αριθμός: ρνζʹ σημαίνει 100 + 50 + 7 = 157. Για τις χιλιάδες, η γραμμή έμπαινε μπροστά, κάτω από τη σειρά: ͵α σημαίνει 1000. Η μυριάδα, το 10.000, γραφόταν με Μ.

Πότε άρχισε αυτό το σύστημα; Οι ιστορικοί δεν συμφωνούν. Η γραμματική του Smyth, του 1920, λέει ότι μπήκε σε χρήση μετά τον 2ο αιώνα π.Χ., όμως ευρήματα επιγραφών έφεραν την ημερομηνία πιο πίσω, και κάποιοι ερευνητές πιστεύουν ότι ξεκίνησε στη Μίλητο, στην Ιωνία, πολύ νωρίτερα. Η Αθήνα κράτησε τα παλιά της σημάδια στις επιγραφές για πολύ καιρό. Το σύστημα με τα γράμματα ήταν σύντομο και πρακτικό, γι’ αυτό οι μαθηματικοί το χρησιμοποιούσαν για μεγάλους υπολογισμούς.

Η λέξη γεωμετρία σημαίνει «μέτρηση της γης», από το γῆ και το μετρῶ, «μετράω». Ο Ηρόδοτος (2.109) πίστευε ότι οι Έλληνες έμαθαν τη μέτρηση της γης από την Αίγυπτο, όπου οι υπάλληλοι μετρούσαν ξανά τα χωράφια, όταν η πλημμύρα του Νείλου είχε πάρει μαζί της κομμάτια γης. Οι Έλληνες πρόσθεσαν κάτι καινούργιο: ήθελαν να αποδείξουν γιατί ένας κανόνας ισχύει πάντα.

Στον Θαλή τον Μιλήσιο (περίπου 624–547 π.Χ.) αποδίδονται πέντε απλά θεωρήματα της γεωμετρίας, αν και οι αρχαίοι συγγραφείς συχνά έδιναν σε διάσημους ανθρώπους ανακαλύψεις που δεν είχαν κάνει. Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (περίπου 570–490 π.Χ.) έδωσε το όνομά του στο θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν τον κανόνα περίπου 1000 χρόνια νωρίτερα, όμως ο Πυθαγόρας ίσως ήταν ο πρώτος που τον απέδειξε.

Ο Ευκλείδης δίδασκε στην Αλεξάνδρεια γύρω στο 300 π.Χ. Τα Στοιχεία του, τα Στοιχεῖα, έχουν 13 βιβλία. Αρχίζουν με ορισμούς και πέντε αιτήματα και χτίζουν, βήμα βήμα, μια μακριά αλυσίδα από θεωρήματα, το καθένα με τη δική του απόδειξη, την ἀπόδειξιν. Το έργο αυτό διαμόρφωσε τα μαθηματικά για περισσότερα από 2000 χρόνια. Ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (287–212 π.Χ.) προχώρησε πιο μακριά με τα καμπύλα σχήματα. Στον Ψαμμίτη βρήκε μάλιστα τρόπο να ονομάσει αριθμούς τόσο μεγάλους, ώστε να μετρήσουν τους κόκκους της άμμου που θα γέμιζαν το σύμπαν.

Ένας Έλληνας μαθητής σήμερα μαθαίνει μαθηματικά, μια αρχαία λέξη που συνδέεται με το μάθημα, «κάτι που μαθαίνεις». Στην τάξη, οι μαθητές συναντούν πολλές λέξεις που χρησιμοποιούσαν ήδη ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης: αριθμός, τρίγωνο, κύκλος, θεώρημα και απόδειξη. Μαθαίνουν το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Κάποιες λέξεις άλλαξαν λίγο. Το ψηφίο, ψηφίο, βγαίνει από το ψηφίον, «χαλικάκι»· μόνο αργότερα η λέξη πήρε τη σημασία του αριθμού. Και η απόδειξη έχει και μια δεύτερη, καθημερινή σημασία: το χαρτί που παίρνεις στο μαγαζί, που αποδεικνύει ότι πλήρωσες.

Οι αριθμοί με γράμματα δεν χάθηκαν. Οι Έλληνες τους χρησιμοποιούν ακόμη για τη σειρά και την τάξη: οι τάξεις του σχολείου, οι βασιλιάδες της ιστορίας και τα κεφάλαια ενός βιβλίου αριθμούνται Α΄, Β΄, Γ΄.