Euclide

De la vie d'Euclide on ne sait presque rien, pas même où il est né. Le principal témoin est Proclus, philosophe qui écrivait à Athènes vers 450 apr. J.-C. : il dit qu'Euclide vécut au temps de Ptolémée Ier, le général d'Alexandre qui gouverna l'Égypte à partir de 323 av. J.-C., qu'il était plus jeune que les disciples de Platon et plus âgé qu'Ératosthène et Archimède, et qu'il rassembla dans les Éléments les travaux des géomètres antérieurs. On situe donc sa vie active vers 300 av. J.-C., à Alexandrie, la nouvelle capitale où Ptolémée fondait le Musée et la Bibliothèque. Il étudia probablement à Athènes auprès des successeurs de Platon, et Pappus, au IVe siècle apr. J.-C., le décrit comme doux et modeste envers quiconque pouvait faire progresser les mathématiques.

Deux anecdotes tiennent lieu de biographie. Proclus raconte que Ptolémée demanda à Euclide s'il existait un chemin plus court que les Éléments pour apprendre la géométrie, et qu'Euclide répondit qu'il n'y a pas de voie royale vers la géométrie. Stobée rapporte qu'un jeune homme qui venait d'apprendre son premier théorème demanda ce qu'il y gagnerait, et qu'Euclide ordonna à son esclave de lui donner une pièce, puisqu'il lui fallait tirer profit de ce qu'il apprenait. Les dates avancées pour sa naissance et sa mort, vers 325 et 265 av. J.-C., sont des conjectures.

Il ne faut pas le confondre avec Euclide de Mégare, disciple de Socrate qui vécut un siècle plus tôt ; pendant des centaines d'années, les éditions médiévales et de la Renaissance ont imprimé le nom et la biographie du philosophe sur le livre du mathématicien.

Les Στοιχεία (Éléments) comptent treize livres, et c'est leur méthode qui fait leur renommée. Le livre I s'ouvre sur vingt-trois définitions («Le point est ce qui n'a aucune partie»), cinq postulats (on peut tracer une droite entre deux points quelconques ; tous les angles droits sont égaux ; et le fameux cinquième, sur les parallèles) et cinq notions communes (les choses égales à une même chose sont égales entre elles). À partir de ces seuls éléments, chaque proposition est démontrée à partir de ce qui précède, et chacune se termine par les mots ὅπερ ἔδει δεῖξαι, «ce qu'il fallait démontrer», le CQFD des Latins. Le livre I s'achève sur le théorème de Pythagore. Les livres II à VI traitent des aires, des cercles, des polygones et des proportions ; les livres VII à IX relèvent de la théorie des nombres, avec l'algorithme d'Euclide pour le plus grand commun diviseur et la démonstration, en IX.20, qu'il existe une infinité de nombres premiers ; le livre X est une longue étude des grandeurs irrationnelles ; les livres XI à XIII portent sur la géométrie dans l'espace et se terminent par la construction des cinq polyèdres réguliers.

Peu de ces mathématiques furent découvertes par Euclide lui-même ; son œuvre, c'est l'ordre. Il écrivit aussi les Δεδομένα (Données), sur ce qui découle de grandeurs données, l'Ὀπτικά (Optique), premier traitement géométrique de la perspective, les Φαινόμενα sur la géométrie du ciel, et des ouvrages perdus sur les coniques et les porismes. Les Éléments furent traduits en arabe au IXe siècle, de l'arabe en latin au XIIe, imprimés pour la première fois à Venise en 1482 et enseignés, souvent sans changement, jusqu'au XXe siècle. Le cinquième postulat, qui paraissait moins évident que les autres, fut contesté pendant deux millénaires, jusqu'à ce que Lobatchevski et Bolyai montrent, dans les années 1820 et 1830, que sa négation donne des géométries non euclidiennes cohérentes, les mathématiques dont Einstein aurait plus tard besoin.

Dans les lycées grecs, le cours de géométrie s'appelle toujours Ευκλείδεια Γεωμετρία, et les élèves démontrent les théorèmes dans l'ordre d'Euclide, avec les mêmes mots : υπόθεση, απόδειξη, όπερ έδει δείξαι. La Société mathématique hellénique publie ses revues pour les élèves sous le nom d'Ευκλείδης et donne son nom à une étape de son concours national. Il y a une rue Ευκλείδου au centre d'Athènes et dans la plupart des villes grecques. Hors de Grèce, le télescope de l'Agence spatiale européenne lancé en 2023 pour cartographier la géométrie de l'univers s'appelle Euclid, et un cratère de la Lune porte son nom. L'apprenant qui veut lire la première page des Éléments dans l'original trouvera le grec des définitions bref, concret et, avec un peu d'aide, lisible.

• Le roi Ptolémée lui ayant demandé un moyen plus rapide d'apprendre la géométrie, il aurait répondu qu'il n'y a pas de voie royale vers la géométrie.
• Pendant des siècles, son livre porta la biographie d'un autre homme, Euclide de Mégare, philosophe qui vécut cent ans plus tôt.
• Les Éléments furent imprimés pour la première fois à Venise en 1482, avec les figures dans les marges, et ont connu depuis plus de mille éditions.
• Abraham Lincoln disait avoir maîtrisé les six premiers livres d'Euclide pour apprendre ce que signifie démontrer quelque chose.