欧几里得

关于欧几里得的生平，我们几乎一无所知，甚至不知道他生于何处。主要的见证者是公元450年前后在雅典写作的哲学家普罗克洛斯，他说欧几里得生活在托勒密一世的时代，即亚历山大大帝麾下自公元前323年起统治埃及的那位将军；他比柏拉图的学生年轻，比埃拉托色尼和阿基米德年长，并把前代几何学家的成果汇集进了《几何原本》。因此，人们把他的主要活动时期定在公元前300年前后的亚历山大港，那是托勒密正在兴建缪斯宫和图书馆的新都城。他可能曾在雅典师从柏拉图的继承者；公元四世纪的帕普斯形容他对任何能推动数学进步的人都温和谦逊。

两则轶事代替了传记。普罗克洛斯讲道，托勒密问欧几里得，学习几何有没有比《几何原本》更短的捷径，欧几里得回答说，几何学没有王者之路。斯托拜乌斯讲道，一个刚学会第一条定理的年轻人问学这个能得到什么，欧几里得便吩咐奴隶给这孩子一枚硬币，因为他非得从所学中获利不可。他的生卒年份，约公元前325年和前265年，都只是推测。

不应把他与麦加拉的欧几里得混为一谈，后者是苏格拉底的学生，比他早一个世纪；数百年间，中世纪和文艺复兴时期的版本都把那位哲学家的名字和生平印在这位数学家的书上。

Στοιχεία（《几何原本》）共十三卷，其声名来自它的方法。第一卷以二十三条定义（«点是没有部分的东西»）、五条公设（任意两点之间可以作一条直线；所有直角都相等；以及著名的关于平行线的第五公设）和五条公理（等于同量的量彼此相等）开篇。仅凭这些，每一个命题都由前面的内容推出，每一个都以ὅπερ ἔδει δεῖξαι，即«这就是所要证明的»结束，也就是拉丁文的QED。第一卷以毕达哥拉斯定理收尾。第二至六卷讨论面积、圆、多边形和比例；第七至九卷是数论，其中有求最大公约数的欧几里得算法，以及第九卷命题20中关于素数有无穷多个的证明；第十卷是对无理量的长篇研究；第十一至十三卷是立体几何，最后以五种正多面体的作图告终。

这些数学内容很少是欧几里得本人的发现；他的成就在于秩序。他还写了Δεδομένα（《已知数》），讨论由已知量可以推出什么；Ὀπτικά（《光学》），对透视的第一次几何处理；Φαινόμενα，论天空的几何；以及已经失传的关于圆锥曲线和衍论的著作。《几何原本》于九世纪被译成阿拉伯文，十二世纪又从阿拉伯文译成拉丁文，1482年在威尼斯首次印刷，此后往往原封不动地一直被讲授到二十世纪。第五公设看起来不如其他公设那样不言自明，两千年来一直受到质疑，直到罗巴切夫斯基和鲍耶在1820和1830年代证明，否定它可以得到自洽的非欧几何，也就是后来爱因斯坦所需要的数学。

在希腊的高中，几何课至今仍叫Ευκλείδεια Γεωμετρία，学生们按欧几里得的顺序、用同样的词语证明定理：υπόθεση、απόδειξη、όπερ έδει δείξαι。希腊数学会以Ευκλείδης为名出版面向学生的杂志，并以他的名字命名其全国竞赛的一轮。雅典市中心和大多数希腊城镇都有一条Ευκλείδου街。在希腊以外，欧洲航天局于2023年发射、用于绘制宇宙几何结构的望远镜就叫欧几里得，月球上也有一座以他命名的环形山。想要阅读《几何原本》原文第一页的学习者会发现，定义的希腊语简短、具体，只要稍加帮助就能读懂。

• 据说托勒密国王问他有没有学习几何的捷径时，他回答说几何学没有王者之路。
• 几个世纪里，他的书上一直印着另一个人的生平，即比他早一百年的哲学家麦加拉的欧几里得。
• 《几何原本》1482年在威尼斯首次印刷，图形印在页边，此后出版了一千多个版本。
• 亚伯拉罕·林肯说，他钻研了欧几里得的前六卷，为的是弄懂证明一件事究竟意味着什么。