Como Eratóstenes mediu a Terra

Há cerca de 2250 anos, um sábio grego chamado Eratóstenes vivia em Alexandria, uma grande cidade grega no Egito. Tinha nascido por volta de 276 a.C. em Cirene, na atual Líbia. Por volta de 240 a.C. tornou-se diretor da famosa Biblioteca de Alexandria, um lugar cheio de rolos de papiro.

Eratóstenes adorava mapas. Escreveu uma obra sobre todo o mundo conhecido, os Γεωγραφικά. Para desenhar um bom mapa, precisava de saber uma coisa: qual é o tamanho da Terra, a γῆ? Os pensadores gregos já concordavam que a Terra é redonda como uma bola. Um século antes, Aristóteles tinha reparado que a Terra projeta uma sombra redonda na Lua durante um eclipse. Mas ninguém tinha encontrado uma maneira de medir o seu tamanho.

Claro que ninguém podia dar a volta ao mundo a pé. Por isso Eratóstenes usou três coisas simples: o Sol, um pau e a geometria.

Muito a sul de Alexandria ficava a cidade de Siene, a atual Assuão. Dizia-se que ao meio-dia do dia mais longo do ano, o solstício de verão, por volta de 21 de junho, o Sol estava mesmo por cima de Siene. Um pau na vertical não fazia ali sombra nenhuma, nenhuma σκιά. O geógrafo Estrabão escreveu mais tarde que a luz do Sol chegava até ao fundo de um poço.

No mesmo dia ao meio-dia, em Alexandria era diferente. Ali o ponteiro de um relógio de sol, chamado γνώμων, ainda fazia uma pequena sombra. Eratóstenes mediu o ângulo, a γωνία, dessa sombra. Era um cinquenta avos de um círculo completo, cerca de 7 graus nas unidades de hoje.

Porque havia sombra numa cidade e nenhuma na outra? Porque a Terra é curva. O Sol está tão longe que os seus raios chegam em linhas paralelas, mas a Terra redonda recebe-os com um ângulo diferente em cada lugar.

Agora vem a parte engenhosa. Eratóstenes pensou assim: se a sombra em Alexandria é um cinquenta avos de um círculo, então a distância de Alexandria a Siene também deve ser um cinquenta avos da volta inteira à Terra.

A distância entre as duas cidades era dada como cerca de 5000 στάδια. O estádio era uma unidade de comprimento grega: o comprimento da corrida num estádio. Por isso a conta era simples:

• 5000 estádios × 50 = 250 000 estádios

Esta foi a sua resposta para a περίμετρος, a distância à volta da Terra. Alguns autores posteriores, como o escritor romano Plínio, indicam antes 252 000 estádios. O próprio livro de Eratóstenes, Sobre a medição da Terra, perdeu-se. Conhecemos o seu método sobretudo através de Cleomedes, um professor grego de astronomia que o explicou séculos depois. Não sabemos exatamente como foram medidos os 5000 estádios.

Eratóstenes tinha razão? Chegou perto, mas os historiadores não concordam sobre quão perto. O problema é o estádio. As cidades gregas usavam estádios de comprimentos diferentes, e não sabemos ao certo qual deles ele queria dizer.

• Se o seu estádio tinha cerca de 157 metros, como pensam alguns investigadores, o resultado fica entre 39 000 e 40 000 quilómetros, muito perto do valor real de cerca de 40 000.
• Se tinha cerca de 180 metros, como pensam outros, o resultado é de cerca de 45 000 quilómetros, mais de um décimo acima.

Os seus dados de partida também não eram perfeitos. Siene não fica exatamente sob o trópico, o τροπικός κύκλος, nem exatamente a sul de Alexandria. Os 5000 estádios eram apenas uma estimativa.

Mesmo assim, o seu método estava certo, e foi isso que o tornou famoso. Hoje, turmas de muitos países repetem a sua experiência com um pau e a sua sombra.